Question

1．记不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{3x-2y+3≥0}\\{x-4y+1≤0}\end{array}\right.$，所表示的区域为D．
（1）求区域D的面积．
（2）设P（x，y）为区域内一动点，求z=$\frac{y-2}{x+4}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组对应的排名区域，分别求出对应三角形的定点坐标，利用三角形的面积公式即可得到结论．
（2）利用可行域，通过表达式的几何意义求解直线的斜率即可．

解答 解：（1）作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ 3x-2y+3≥0\\ x-4y+1≤0\end{array}\right.$对应的平面区域如图所示，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ 3x-2y+3=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$，即A（1，3）．
同理得B（-1，0），C（3，1）．D（4，0）．
∴区域D的面积：S_△ABC=$\frac{1}{2}DB•{y}_{A}$$-\frac{1}{2}$DB•y_C=$\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×5×1$=5．
（2）z=$\frac{y-2}{x+4}$的几何意义是可行域内的点与（-4，2）连线的斜率．
向量的范围为：${K}_{PB}≤\frac{y-2}{x+4}≤{K}_{PA}$，${K}_{PB}=\frac{0-2}{-1+4}$=$-\frac{2}{3}$，${K}_{PA}=\frac{3-2}{1+4}$=$\frac{1}{5}$．
z=$\frac{y-2}{x+4}$的取值范围：$[-\frac{2}{3}，\frac{1}{5}]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，以及三角形面积的计算，表达式的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．