Question

某校在一次期末数学统测中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． 
（Ⅰ）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅲ）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名，求他们的分差不小于10分的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,频率分布直方图,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据所有频率之和等于1求出第七组的频率，然后绘图即可；
（Ⅱ）利用平均数计算公式计算即可；
（Ⅲ）一一列举所有满足从中任取2人的所有基本事件，找到分差在（10分）以上的基本事件，利用概率公式计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知第七组频率为：f₇=1-（0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004）×10=0.08；
直方图如图所示．                                                             
                                                                    
 （Ⅱ）该校这次考试的平均成绩为：65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97，
（Ⅲ）第六组有学生3人，分别记作A₁，A₂，A₃，第八组有学生2人，分别记作B₁，B₂；
则从中任取2人的所有基本事件为 （A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₁，A₂），（A₁，A₃），A₂，A₃），（B₁，B₂）共10个．
分差在（10分）以上，表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
所以从中任意抽取2人，分差在（10分）以上的概率P=

6

10

=

3

5

．

点评：本题主要考查了频率分布直方图、平均数、古典概型的概率问题，属于基础题．