Question

已知函数f(x)=1nx+x-

a

x

(a≥-2)，g(x)=ex-x，其中e为自然对数的底数，且当x＞0时f（x）≥3恒成立．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求证：f（x）+g（x）＞4．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定定义域，求g'（x），由 g'（x）＞0求得增区间，由 g'（x）＜0求得减区间；
（Ⅱ）利用在区间D上，a≤f（x）恒成立，则a≤f（x）_min求解；
（Ⅲ）利用构造法，构造新函数求解．

解答： 解：（Ⅰ）g'（x）=e^x-1，g'（x）＜0⇒x＜0，g'（x）＞0⇒x＞0，
∴g（x）的减区间是（-∞，0），增区间是（0，+∞）．
（Ⅱ）f(x)=lnx+x-

a

x

≥3恒成立，即

a

x

≤lnx+x-3，
∵x＞0，∴a≤xlnx+x²-3x恒成立．
设h（x）=xlnx+x²-3x，（x＞0），h'（x）=lnx+2x-2，
由于h'（x）在（0，+∞）上是增函数，且h'（1）=0，
∴x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数，
∴h（x）_min=h（1）=-2，从而若a≤xlnx+x²-3x恒成立，必有a≤-2．
又∵a≥-2，
∴a的取值集合为{-2}．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g（x）≥g（0）=1，即e^x-x≥1，当且仅当x=0时等号成立，
∴x＞0时，有e^x＞x+1．
∴f(x)+g(x)=lnx+ex+

2

x

＞lnx+x+1+

2

x

，
设F(x)=lnx+x+1+

2

x

(x＞0)，
则F′(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，F（x）是减函数，
当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）是增函数，
∴F（x）≥F（1）=4，
即f（x）+g（x）＞4成立．

点评：本题主要考查利用导数法判断函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化能力及构造函数法解决问题的能力，属难题．