Question

设a是实数，函数f（x）=ax²+（a+1）x-2lnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（3）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x₀时，若

g(x)-h(x)

x-x0

＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“巧点”．当a=-

1

4

时，试问函数y=f（x）是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）设切点，可得切线的斜率k=4m+3-

2

m

，利用直线OM的斜率为

2m2+3m-2lnm

m

，建立方程，即可求切点的横坐标；
（3）分类讨论，根据“巧点”的定义结合函数的单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=

2(x2+x-1)

x

（x＞0），…（1分）
由f′（x）＞0得：x＞

-1+ 5

2

；由f′（x）＜0得：0＜x＜

-1+ 5

2

．                 …（2分）
所以，f（x）的单调增区间为（

-1+ 5

2

，+∞），单调减区间为（0，

-1+ 5

2

）．        …（3分）
（2）当a=2时，设切点为M （m，n）．
f′（x）=4x+3-

2

x

（ x＞0），所以，切线的斜率k=4m+3-

2

m

．
又直线OM的斜率为

2m2+3m-2lnm

m

，…（5分）
所以，4m+3-

2

m

=

2m2+3m-2lnm

m

，即m²+lnm-1=0，
又函数y=m²+lnm-1在（0，+∞）上递增，且m=1是一根，所以是唯一根，
所以，切点横坐标为1．                                                  …（7分）
（3）a=-

1

4

时，由函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：
y=（-

1

2

x₀+

3

4

-

2

x0

）（x-x₀）-

1

4

x₀²+

3

4

x₀-2ln x₀．                               …（8分）
令h（x）=（-

1

2

x₀+

3

4

-

2

x0

）（x-x₀）-

1

4

x₀²+

3

4

x₀-2ln x₀，
设F（x）=f（x）-h（x），则F（x₀）=0．
且F′（x）=f′（x）-h′（x）=-

1

2

x+

3

4

-

2

x

-（-

1

2

x₀+

3

4

-

2

x0

）
=-

1

2

（x-x₀）-（

2

x

-

2

x0

）=-

1

2x

（x-x₀） （x-

4

x0

）                        …（10分）
当0＜x₀＜2时，

4

x0

＞x₀，F（x）在（x₀，

4

x0

）上单调递增，从而有F（x）＞F（x₀）=0，所以，

F(x)

x-x0

＞0；
当x₀＞2时，

4

x0

＜x₀，F（x）在（

4

x0

，x₀）上单调递增，从而有F（x）＜F（x₀）=0，所以，

F(x)

x-x0

＞0．
因此，y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“巧点”．                         …（13分）
当x₀=2时，F′（x）=-

(x-2)2

2x

≤0，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减．
所以，x＞2时，F（x）＜F（2）=0，

F(x)

x-2

＜0；0＜x＜2时，F（x）＞F（2）=0，

F(x)

x-2

＜0．
因此，点（2，f（2））为“巧点”，其横坐标为2．                               …（16分）

点评：正确理解导数的几何意义、“巧点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．