题目内容
已知正项函数{an}满足a1=1，an+12=an（an+4）+4，n∈N*
（1）求{an}的通项公式．
（2）求数列{（-1）nan2}的前2n项和S2n．
（1）求{an}的通项公式．
（2）求数列{（-1）nan2}的前2n项和S2n．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：（1）由an+12=an（an+4）+4，可得（an+1+an+2）（an+1-an-2）=0，由题意可知an+1-an=2，进而可判断{an}为等差数列，易求an；
（2）利用S2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)=（a2+a1）•（a2-a1）+…+（a2n+a2n-1）（a2n-a2n-1）=2（a1+a2+…+a2n-1+a2n）即可得结果．
（2）利用S2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)=（a2+a1）•（a2-a1）+…+（a2n+a2n-1）（a2n-a2n-1）=2（a1+a2+…+a2n-1+a2n）即可得结果．
解答：
解：（1）由an+12=an（an+4）+4，得an+12=(an+2)2，
∴（an+1+an+2）（an+1-an-2）=0，
由an＞0，得an+1-an=2，
∴{an}为等差数列，且公差为2，
∴{an}的通项公式为an=2n-1．
（2）数列{（-1）nan2}的前2n项和S2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)
=（a2+a1）•（a2-a1）+…+（a2n+a2n-1）（a2n-a2n-1）
=2（a1+a2+…+a2n-1+a2n）
=2×
=8n2．
∴（an+1+an+2）（an+1-an-2）=0，
由an＞0，得an+1-an=2，
∴{an}为等差数列，且公差为2，
∴{an}的通项公式为an=2n-1．
（2）数列{（-1）nan2}的前2n项和S2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)
=（a2+a1）•（a2-a1）+…+（a2n+a2n-1）（a2n-a2n-1）
=2（a1+a2+…+a2n-1+a2n）
=2×
| (1+4n-1)×2n |
| 2 |
=8n2．
点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，考查学生的运算求解能力，属中档题．
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