Question

如图（1），PD是四棱锥P-ABCD的高，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°

（1）当正视方向与向量

AD

的方向相同时，画出四棱锥P-ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）
（2）如图（2），E为PA的中点，G是CB上任意一点，过E，D，G三点的平面与侧面PCB交于GH．
①证明：ED∥平面PCB
②判断四边形EDGH的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,简单空间图形的三视图

专题：作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）可由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PCD，在直角梯形ABCD中，求得AB=6，在直角△PAD中，求得PD=4

3

，即可画出正视图；
（2））①取AB的中点M，连接EM，DM，由线面平行的判定定理，可证EM∥平面PCB，DM∥平面PCB，即有平面EDM∥平面PCB，由于ED?平面EDM，则ED∥平面PCB；
②可由线面平行的性质定理，得到ED∥GH，由于G是CB上任意一点，则四边形EDGH的形状为梯形．

解答： （1）解：由于PD⊥面ABCD，则PD⊥AD，
又AD⊥AB，AB∥DC，
则AD⊥CD，则有AD⊥平面PCD，
在直角梯形ABCD中，AD=4，
CD=3，BC=5，则AB=6，
在直角△PAD中，AD=4，
∠PAD=60°
则PD=4tan60°=4

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．
则当正视方向与
向量

AD

的方向相同时，
四棱锥P-ABCD的正视图如右图．
（2）①证明：取AB的中点M，连接EM，DM，
在△PAB中，PE=EA，AM=BM，
则EM∥PB，由EM?平面PCB，即有EM∥平面PCB，
DM∥CB，DM?平面PCB，则有DM∥平面PCB，
又EM∩DM=M，则平面EDM∥平面PCB，
由于ED?平面EDM，则ED∥平面PCB；
②四边形EDGH的形状为梯形．
理由如下：由①得，ED∥平面PCB，
又ED?平面EDGH，平面EDGH∩平面PCB=GH，
则ED∥GH，
由于G是CB上任意一点，
则四边形EDGH为梯形．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行、垂直的判定定理和性质定理，考查面面平行的判定定理和性质定理，考查空间三视图的作法，属于中档题．