Question

已知函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5（k∈R）
（1）对任意k∈（-1，1），不等式f（x）＜0恒成立，求x的取值范围；
（2）若函数在区间（0，2）内有零点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的应用

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）把函数f（x）整理成k的一次函数g（k），由题意

g(-1)＜0 g(1)＜0

，求出不等式组的解集，即是x的取值范围；
（2）由函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，等价于方程3x²+2（k-1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，
讨论（i）判别式△=0，（ii）判别式△＞0时，方程根的情况，（iii）f（2）=0或f（0）=0时，k的取值是否符合题意；由此求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5，（k∈R），
∴设g（k）=（2x+1）k+3x²-2x+5，k∈（-1，1）；
∴

g(-1)＜0 g(1)＜0

；
即

3x2-4x+4＜0 3x2+6＜0

，
解得x∈∅，
∴x的取值范围是∅；
（2）∵函数f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在区间（0，2）内有零点，
等价于方程3x²+2（k-1）x+k+5=0在区间（0，2）内有实数根，
则（i）判别式△=4（k-1）²-12（k+5）=0时，得k=7或k=-2，
此时方程的根分别是k=7时，根是x₁=x₂=-2；
k=-2时，根是x₁=x₂=1；
∵方程在（0，2）内有实数根，∴k=-2（k=7舍去）；
（ii）判别式△＞0时，则k＞7或k＜-2，
①若两根都在（0，2）内，则对称轴x=-

k-1

3

在（0，2）内，f（0）＞0、f（2）＞0，
即

△=4(k-1)2-12(k+5)＞0 0＜- k-1 3 ＜2 f(0)=k+5＞0 f(2)=12+4(k-1)+k+5＞0

；
解得

k＞7或k＜-2 -5＜k＜1 k＞-5 k＞- 13 5

；
∴-

13

5

＜k＜-2；
②若方程在（0，2）内存在一个根，则f（0）•f（2）＜0，
解得-5＜k＜-

13

5

；
（iii）当f（2）=0时，即12+4（k-1）+k+5=0，k=-

13

5

，
此时f（0）=k+5=

12

5

＞0，∴k=-

13

5

符合题意；
当f（0）=k+5=0时，k=-5，此时f（2）=12+4（k-1）+k+5=-12＜0，不符合题意，舍去；
∴k=-

13

5

；
综上，k的取值范围是{k|-5＜k≤-2}．

点评：本题考查了转化思想的应用问题，也考查了分类讨论思想，一元二次不等式的解法与应用问题，函数的零点应用问题，是综合题．