Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的表达式，通过求导得出斜率k的值，再求出切点坐标，从而求出切线方程；
（2）先求出函数的导数，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而求出函数的单调区间．

解答： 解：（1）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1
∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，
∴切点坐标为（1，3），
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．
（2）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f′（x）=0得x=-a或x=

a

3

，
∵a＞0，由f′（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

，
由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

，
此时f（x）的单调递减区间为(-a，

a

3

)，单调递增区间为（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)．

点评：本题考查了导数的应用，求曲线的切线方程，考查了函数的单调性，是一道基础题．