Question

在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由cosA与sinB的值，求出sinA与cosB的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）由cos（A+B）的值求出A+B的度数，进而确定出C的度数，由sinA，sinC以及a的值，利用正弦定理求出c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵A，B，C为锐角，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，cosB=

1-sin2B

=

10

10

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

5

5

×

10

10

-

2 5

5

×

3 10

10

=-

2

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜A+B＜π，A+B=

3π

4

，∴C=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，可得c=

asinC

sinA

=

4× 2 2

2 2 5

=

10

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4×

10

×

3 10

10

=6．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．