Question

已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过a=-

1

4

，求出函数的导数，利用导数为0，然后求出极值点，然后求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）利用函数f（x）在区间[2，4]上是减函数，导数小于0恒成立，然后求实数a的取值范围．

解答： （本题满分14分）
解：（I）当a=-

1

4

时，f′(x)=-

(x-2)(x+1)

2x

(x＞0)…（2分）
则当0＜x＜2时f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，2）上为增函数；
当x＞2时f'（x）＜0，故函数f（x）在（2，+∞）上为减函数，…（5分）
故当x=2时函数f（x）有极大值f(2)=

3

4

+ln2…（7分）
（Ⅱ）f′(x)=2a(x-1)+

1

x

，因函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
则f′(x)=2a(x-1)+

1

x

≤0在区间[2，4]上恒成立，…（9分）
即2a≤

1

-x2+x

在[2，4]上恒成立，而当2≤x≤4时，

1

-x2+x

∈[-

1

2

，-

1

12

]，…（12分）
2a≤-

1

2

，即a≤-

1

4

，故实数a的取值范围是(-∞，-

1

4

]．   …（14分）

点评：本题考查考查函数的导数的应用，函数的极值，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．