Question

定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），满足f′（x₁）=

f(b)-f(a)

b-a

，f′（x₂）=

f(b)-f(a)

b-a

，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=

1

3

x³-x²+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（1，3）
• B、（

  3

  2

  ，3）
• C、（1，

  3

  2

  ）
• D、（1，

  3

  2

  ）∪（

  3

  2

  ，3）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由新定义可知f′（x₁）=f′（x₂）=

1

3

a²-a，即方程x²-2x=

1

3

a²-a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．

解答： 解：由题意可知，
在区间[0，a]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
满足f′（x₁）=

f(a)-f(0)

a

=

1 3 a3-a2

a

=

1

3

a²-a，
∵f（x）=

1

3

x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x²-2x=

1

3

a²-a在区间（0，a）有两个解．
令g（x）=x²-2x-

1

3

a²+a，（0＜x＜a）
则

△=4+ 4 3 a2-4a＞0 g(0)=- 1 3 a2+a＞0 g(a)= 2 3 a2-a＞0 a＞1

解得

3

2

＜a＜3，
∴实数a的取值范围是（

3

2

，3）．
故选：B．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．