Question

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

8

a 2 n -1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和题意列出方程，求出首项、公差，代入等差数列的通项公式、前n项和公式，求出a_n及S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意求出b_n，利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₃=7，a₅+a₇=26，所以

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，所以b_n=

8

a 2 n -1

=

8

(2n+1)2-1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以数列{b_n}的前n项和T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
即数列{b_n}的前n项和是

2n

n+1

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及方程思想，属于中档题．