Question

已知点M（3，0）和点N（-3，0），直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a≠0），设点P的轨迹为C，给出以下几个命题：
①存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值；
②存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；
③不存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；
④不存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值；
其中正确的命题是

 

．（填出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据斜率公式得出

y

x+3

•

y

x-3

=a，得y²=a（x²-9），再分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：设P（x，y）
由

y

x+3

•

y

x-3

=a，得y²=a（x²-9），
若a=-1，则方程为x²+y²=9，轨迹为圆（除A B点）；
若-1＜a＜0，方程为

x2

9

+

y2

-9a

=1，轨迹为椭圆（除A B点）
-9a＜9，c=

9+9a

=4，∴a=

7

9

，不符合；
a＜-1，-9a＞9，c=

-9a-9

=4，∴a=-

25

9

，符合，
∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；
若a＞0，方程为

x2

9

-

y2

9a

=1，轨迹为双曲线（除A B点）．c=

9+9a

=4，a=

7

9

，
∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．
④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．
故答案为：②④

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．