Question

如图，在120°二面角α-l-β内半径为1的圆O₁与半径为2的圆α分别在半平面α、l内，且与棱l切于同一点P，则以圆O₁与圆f（x）=2sin（ωx-

π

6

）sin（ωx+

π

3

）为截面的球的表面积等于

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意设球心到圆O₁的距离为x，到半径为2的圆O的距离为y，球的半径为R，从而可得x²+1=R²，y²+4=R²，再由解三角形可得x²+y²-xy=7，从而求出R²，进而求表面积．

解答： 解：设球心到圆O₁的距离为x，到半径为2的圆O的距离为y，
球的半径为R，则
x²+1=R²，
y²+4=R²，
又∵二面角α-l-β为120°，且两圆与棱l切于同一点P，
∴解三角形可得，
x²+y²-2xycos60°=1²+2²-2×1×2×cos120°，
即x²+y²-xy=7，
联立可得，

x2+1=R2 y2+4=R2 x2+y2-xy=7

，
解得，R²=

28

3

，x=

5 3

3

，y=

4 3

3

，
故球的表面积S=4πR²=

112π

3

；
故答案为：

112π

3

．

点评：本题考查了球的几何结构，同时考查了学生的空间想象力与化简计算的能力，属于难题．