Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为是矩形，PA⊥底面ABCD，E为棱PD的中点，AP=2，AD=2

3

，且三棱锥E-ACD的体积为

3

．
（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三棱锥体积求CD的长度，建立坐标系，得到

PB

∥

EO

，可证PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设平面PAC的一个法向量

n

=（x，y，z），利用

AP

•

n

=0，且

AC

•

n

=0求一个法向量，利用

AE

，

n

的数量积求它们的夹角余弦值．

解答： 解：（ I）由VE-ACD=

1

3

•

1

2

AD•CD•

1

2

PA=

3

，得CD=3，---------------------（2分）
如图所示，以A为坐标原点，

AB

方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系由已知，A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，2

3

，0)，D(0，2

3

，0)，P(0，0，2)E(0，

3

，1)
取AC中点O，O(

3

2

，

3

，0)，
则

PB

=(3，0，-2)，

EO

=(

3

2

，0，-1)，

PB

=2

EO

，

PB

∥

EO

，
即PB∥EO---------------------（4分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC
∴PB∥平面AEC---------------------（6分）
（ II）

AE

=(0，

3

，1)，

AP

=(0，0，2)，

AC

=(3，2

3

，0)
设平面PAC的一个法向量

n

=（x，y，z）
则

AP

⊥

n

，且

AC

⊥

n

，即

AP

•

n

=0，且

AC

•

n

=0
∴

2z=0 3x+2 3 y=0

，令x=1，解得

n

=(1，-

3

2

，0)--------------------（8分）
cos＜

AE

，

n

＞=

- 3 2

3+1 • 1+ 3 4

=-

3 7

14

---------------------（10分）
直AE与平面PAC所成角的正弦值为

3 7

14

---------------------（12分）

点评：本题考查了线面平行的判定以及线面角的求法；本题借助于向量解答，体现了向量的工具性，属于中档题．