Question

13．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD₁ 所在直线上的动点．
（1）求∠EB₁F的取值范围；
（2）若E、F分别为AB、BC的中点，求二面角B₁-EF-B的大小；
（3）若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD₁上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB₁？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BE=x，BF=y，把△B₁EF的三边用含有a与x的代数式表示，利用余弦定理求得∠EB₁F的余弦值，则其范围可求；
（2）设EF与BD的交点为G，连接B₁G，可得∠B₁GB为二面角B₁-EF-B的平面角，求解直角三角形得答案；
（3）设EF与BD的交点为G，连接B₁G，则由已知可得EF⊥平面BB₁D₁D，于是平面B₁EF⊥平面BB₁D₁D，在平面BB₁D₁D内过B作BK⊥B₁G于K，延长后交D₁D所在的直线于点M，则BM⊥平面B₁EF，在平面BB₁D₁D内，由△B₁BG∽△BDM，可得M为D₁D的中点．

解答 解：（1）设BE=x，BF=y，则${B}_{1}E=\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，${B}_{1}F=\sqrt{{a}^{2}+{y}^{2}}$，$EF=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴$cos∠E{B}_{1}F=\frac{2{a}^{2}}{2\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}\sqrt{{y}^{2}+{a}^{2}}}＜1$，
∴∠EB₁F的取值范围为（0，$\frac{π}{2}$）；
（2）设EF与BD的交点为G，连接B₁G，
∵E、F分别为AB、BC的中点，∴BG⊥EF，B₁G⊥EF，
则∠B₁GB为二面角B₁-EF-B的平面角．
由Rt△BAD∽Rt△BGE，得$\frac{BG}{AB}=\frac{BE}{BD}$，得$BG=\frac{BE•AB}{BD}=\frac{\frac{a}{2}•a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴$tan∠{B}_{1}GB=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a}=2\sqrt{2}$，则$∠{B}_{1}GB=arctan2\sqrt{2}$；
（3）设EF与BD的交点为G，连接B₁G，则由EF⊥BD，EF⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
得EF⊥平面BB₁D₁D，于是平面B₁EF⊥平面BB₁D₁D，
在平面BB₁D₁D内过B作BK⊥B₁G于K，延长后交D₁D所在的直线于点M，则BM⊥平面B₁EF，
在平面BB₁D₁D内，由△B₁BG∽△BDM，可得$\frac{{B}_{1}B}{BG}=\frac{BD}{DM}$，
又B₁B=a，BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，BD=$\sqrt{2}a$，∴DM=$\frac{a}{2}$．
∴M在正方体棱D₁D上，且恰好为D₁D的中点．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，考查了空间想象能力和思维能力，体现了数学转化思想方法，是中档题．