Question

5．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD₁ 所在直线上的动点．
（1）求∠EB₁F的取值范围；
（2）若N为面EB₁F内的一点，且∠EBN=45°，∠FBN=60°，求∠B₁BN的余弦值；
（3）若E、F分别是所在正方体棱的中点，试问在棱DD₁上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB₁？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BE=x，BF=y，求出B₁E，B₁F，EF，利用余弦定理求解cos∠EB₁F，然后求出∠EB₁F的取值范围．
（2）设N在BE、BF、BB₁，三边上的投影分别是E₁、F₁、G₁，转化求出∠B₁BN，即可得到它的余弦值．
（3）设EF与BD的交点为G．连接B₁G，说明EF⊥平面BB₁D₁D，过B作BK⊥B₁G于K，延长后交D₁D所在的直线于点M，则BM⊥平面B₁EF．通过△B₁BG∽△BDM，求解即可．

解答 （本题满分16分）
解：（1）设BE=x，BF=y，则B₁E=$\sqrt{{a}^{2}{+x}^{2}}$，B₁F=$\sqrt{{a}^{2}+{y}^{2}}$，EF=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
所以cos∠EB₁F=$\frac{{B}_{1}{E}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}-E{F}^{2}}{2{B}_{1}E•{B}_{1}F}$=$\frac{2{a}^{2}}{2\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}•\sqrt{{y}^{2}+{a}^{2}}}＜1$，
∠EB₁F的取值范围为（0，$\frac{π}{2}$）（5分）
（2）解：设N在BE、BF、BB₁，三边上的投影分别是E₁、F₁、G₁，
则由于∠EBN=45°，∠FBN=60°，∴BE₁=BNcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BN，B₁F=BNcos60°=$\frac{1}{2}$BN．
∵BE₁²+BF₁²+BG₁²=BN²
∴BG₁=$\frac{1}{2}$BN，即∠B₁BN=60°，它的余弦值为$\frac{1}{2}$（11分）
（3）解：设EF与BD的交点为G．连接B₁G，则由EF⊥BD以及EF⊥B₁B，知EF⊥平面BB₁D₁D，
于是面B₁EF⊥面BB₁D₁D，在面BB₁D₁D内过B作BK⊥B₁G于K，延长后交D₁D所在的直线于点M，则BM⊥平面B₁EF．
在平面BB₁D₁D内，由△B₁BG∽△BDM，
知$\frac{B1B}{BG}$=$\frac{BD}{DM}$，又B₁B=a，BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，BD=$\sqrt{2}$a，∴DM=$\frac{a}{2}$．
这说明点M在正方体的棱D₁D上，且恰好为D₁D的中点．（16分）

点评 本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．