Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{π}{6}$）＜f（0）
• B． f（0）＜f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{π}{6}$）
• C． f（$\frac{π}{6}$）＜f（0）＜f（$\frac{π}{2}$）
• D． f（$\frac{π}{2}$）＜f（0）＜f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性和最小值，求得ω和φ的值，可得函数的解析式，从而得到f（$\frac{π}{2}$）、f（0）、f（$\frac{π}{6}$）的大小关系．

解答 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，∴函数f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{A}{2}$，f（$\frac{π}{6}$）=A，f（0）=$\frac{A}{2}$，∴f（$\frac{π}{2}$）＜f（0）＜f（$\frac{π}{6}$），
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和最小值，属于基础题．