Question

3．已知△ABC的边AB在直角坐标平面的x轴上，AB的中点为坐标原点，若$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{3}{2}$，又E点在BC边上，且满足3$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EC}$，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点．
（I）求|$\overrightarrow{AB}$|及此双曲线的方程；
（II）若圆心为T（x₀，0）的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M，N，求T点横坐标x₀取值范围．

Answer 1

分析 （I）由已知向量等式可得$|\overrightarrow{AD}|=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{BD}|=\frac{3}{2}$，由此求得$|\overrightarrow{AB}|$，得到A，B的坐标，设出双曲线方程及C，E的坐标，结合3$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EC}$，把E的坐标用C的坐标表示，代入双曲线方程求得a，b的值，则双曲线方程可求；
（II）设出M坐标，由已知条件得|TM|=|TN|，结合M，N在双曲线上可得7（x₁+x₂）=2x₀，结合M，N的横坐标的范围求得T点横坐标x₀取值范围．

解答 解：（I）由题知：$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2}$  ①，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA$  ②，
由①②，$|\overrightarrow{AC}|cosA=\frac{1}{2}$，作CD⊥AB于D，即$|\overrightarrow{AD}|=\frac{1}{2}$．
同理，$|\overrightarrow{BD}|=\frac{3}{2}$，∴$|\overrightarrow{AB}|=2$，A（-1，0），B（1，0），
设双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，$C（-\frac{1}{2}，h）$，E（x₁，y₁），
由$3\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2}{5}}\\{{y}_{1}=\frac{2}{5}h}\end{array}\right.$，
∵E，C两点在双曲线上，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4{a}^{2}}-\frac{{h}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{4}{25{a}^{2}}-\frac{4{h}^{2}}{25{b}^{2}}=1}\\{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{1}{7}}\\{{b}^{2}=\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{7}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{6}{7}}=1$；
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件知|TM|=|TN|，
得$\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}}=\sqrt{{{y}_{2}}^{2}+（{x}_{2}-{x}_{0}）^{2}}$，
∴${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=（{x}_{2}-{x}_{0}）^{2}-（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}=（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）$+2x₀（x₁-x₂）  ①，
又M，N在双曲线上，满足$7{{x}_{1}}^{2}-\frac{7}{6}{{y}_{1}}^{2}=1$，$7{{x}_{2}}^{2}-\frac{7}{6}{{y}_{2}}^{2}=1$，
∴${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=6（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）$  ②，
将②代入①，$7（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）=2{x}_{0}（{x}_{1}-{x}_{2}）$，由条件知x₁≠x₂，
∴7（x₁+x₂）=2x₀，
又x₁＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$，x₂＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$，x₁≠x₂，
∴${x}_{0}=\frac{7}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$＞$\sqrt{7}$，
∴x₀的取值范围为（$\sqrt{7}$，+∞）．

点评 本题考查双曲线标准方程的求法，考查了双曲线的简单性质，训练了直线与双曲线位置关系的应用，属难题．