Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求点C到平面APB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点D，连结PD，CD．证明AB⊥平面PCD，然后证明PC⊥AB；
（2）过C作CH⊥PD，垂足为H．说明CH的长即为点C到平面APB的距离，通过求解Rt△PCD，即可求点C到平面APB的距离．

解答： 解：（1）取AB中点D，连结PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．
（2）由（1）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．
过C作CH⊥PD，垂足为H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的长即为点C到平面APB的距离．
由（1）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．
∵CD?平面ABC，∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=

1

2

AB=

2

，PD=

3

2

PB=

6

，
∴PC=

PD2-CD2

=2．CH=

PC×CD

PD

=

2 3

3

． 
∴点C到平面APB的距离为

2 3

3

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．