Question

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|，
（1）求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥x²-8x+15．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的值域,其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，利用函数的性质即可求得函数f（x）的值域；
（2）通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的二次不等式即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-2|-|x-5|，
∴当x≤2时，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
当2＜x＜5时，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7∈（-3，3）；
当x≥5时，f（x）=x-2-（x-5）=3；
综上所述，函数f（x）的值域为[-3，3]；
（2）∵|x-2|-|x-5|≥x²-8x+15，
∴当x≤2时，x²-8x+15≤-3，
解得x∈∅；
当2＜x＜5时，有x²-8x+15≤2x-7，
解得5-

3

≤x＜5；
当x≥5时，有x²-8x+15≤3，
即得5≤x≤6，
综上所述，原不等式的解集为{x|5-

3

≤x≤6}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查解一元二次不等式的运算能力，属于中档题．