Question

3．比较两数$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{8}$，$\frac{9}{10}$与$\frac{1}{\sqrt{11}}$的大小是$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}＜\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0），利用导数研究其单调性可判断前几个数的大小，再由$\sqrt{11}＞2$得$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}$，则答案可求．

解答 解：令f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0），
则f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞1）为增函数，
∴f（9）＞f（7）＞f（5）＞f（3）＞f（1），
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{4}$＜$\frac{5}{6}$$＜\frac{7}{8}$＜$\frac{9}{10}$．
又$\sqrt{11}＞3＞2$，
∴$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}＜\frac{9}{10}$．
故答案为：$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}＜\frac{9}{10}$．

点评 本题考查根式与分数指数幂的互化，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．