Question

18．函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$的对称中心为（-1，1），如果函数g（x）=$\frac{{{x^3}-a{x^2}+2ax}}{x+1}$（ x＞-1）的图象经过四个
象限，则实数 a 的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 把函数f（x）的解析式化为1-$\frac{1}{x+1}$，可得它的图象 的对称中心；分析题意可得故h（x）=x²-ax+2a 在区间（-1，0）、（ 0，+∞）上各有一个零点，故有h（-1）=3a+1＞0，且 h（0）=2a＜0，由此求得a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$ 的对称中心为 （-1，1），
函数g（x）=$\frac{{{x^3}-a{x^2}+2ax}}{x+1}$=（x²-ax+2a）•$\frac{x}{x+1}$ （ x＞-1）的图象经过四个象限，
当x＞0时，$\frac{x}{x+1}$＞0，当-1＜x＜0时，$\frac{x}{x+1}$＜0，
故h（x）=x²-ax+2a 在区间（-1，0）、（ 0，+∞）上各有一个零点，
故有h（-1）=3a+1＞0，且 h（0）=2a＜0，
求得-$\frac{1}{3}$＜a＜0，即实数 a 的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，0），
故答案为：（-1，1）、（-$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性，二次函数的性质，函数零点的判定定理，属于中档题．