Question

8．以正弦曲线y=sin$\sqrt{3}$x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式和余弦函数的值域，结合正切函数的图象和性质，即可得到所求范围．

解答 解：y=sin$\sqrt{3}$x的导数为y′=$\sqrt{3}$cos$\sqrt{3}$x，
由导数的几何意义可得直线l的斜率为k=$\sqrt{3}$cos$\sqrt{3}$x，
可得-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
设直线l的倾斜角为θ，0≤θ＜π，
即有-$\sqrt{3}$≤tanθ≤$\sqrt{3}$，
即有0≤θ≤$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$≤θ＜π．
故答案为：[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及直线的斜率公式和正切函数的图象和性质，属于中档题．