Question

如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上某一点D，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．
设∠BAD=θ．记∠BAD=α（α为确定的锐角，满足tanα=

1

2

（1）试将由A到C所用时间t表示为θ的函数t（θ），并指出函数的定义域；
（2）问θ为多少时，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,解三角形的实际应用

专题：计算题,应用题,导数的综合应用

分析：（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；
（2）对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当θ=

π

6

时，用时最少，代入函数关系式求出最值即可．

解答： 解：（1）AD=

50

cosθ

，所以A到D所用时间t₁=

2

cosθ

，BD=50tanθ=

50sinθ

cosθ

，
∴DC=100-BD=100-50tanθ=100-

50sinθ

cosθ

，
所以D到C所用时间t₂=2-

sinθ

cosθ

，
所以t（θ）=t₁+t₂=2+

2-sinθ

cosθ

，定义域为[0，α]，α∈[0，

π

2

）．                   
（2）t′（θ）=

-cos2θ+sinθ(2-sinθ)

cos2θ

=

2sinθ-1

cos2θ

令t'（θ）＞0，则sinθ＞

1

2

，即有

π

6

＜θ＜

π

2

，
由于∠BAD=α，则

π

6

＜θ＜α，t（θ）单调增；     
令t'（θ）＜0，则sinθ＜

1

2

，即有0＜θ＜

π

6

，t（θ）单调减；
因此，θ=

π

6

，t（θ）取到最小值2+

3

．                               
答：当θ=

π

6

时，由A到C的时间t最少，最少时间为2+

3

小时．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，应用三角函数模型求解用时最少的问题，求解本题的关键是对问题进行细致分析得出符合条件的函数模型，本题在求最值时用到了导数研究单调性，用导数研究函数的单调性是一个非常方便的工具，遇到判断函数的单调性的问题时不妨优先考虑一下用导数．本题符号较多，运算较繁，极易出错，做题时要认真严谨．