Question

已知函数：f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）
（1）当a=1时，求f（x）值域；
（2）证明：f（a-x）+f（a+x）=-2；
（3）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=1代入函数的解析式求出函数的表达式，从而求出函数的值域；
（2）先根据已知得到f（2a-x），带入f（x）+2+f（2a-x）直接运算即可；
（3）分情况讨论x≥a-1和x＜a-1两类情况，去掉绝对值，利用二次函数的性质，即可确定g（x）的最小值．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=

x

1-x

=-1-

1

x-1

，
∴f（x）的值域是：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；
（2）证明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

，
∴f（a-x）=

a-x+1-a

a-a+x

=

1-x

x

，f（a+x）=

a+x+1-a

a-a-x

=-

x+1

x

，
∴f（a-x）+f（a+x）=

1-x

x

-

1+x

x

=-2，
∴命题得证．
（3）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x²+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a，
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增g（x）min=g（a-1）=（a-1）2
如果a-1＜-

1

2

即a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g（x）_min=g（-

1

2

）=

3

4

-a，
当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在；
②当x≤a-1时g（x）=x²-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

，即a＞

3

2

时，g（x）_min=g（

1

2

）=a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

，即a≤

3

2

时，g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
当a＞

3

2

时，（a-1）²-（a-

5

4

）=(a-

3

2

)2＞0，
当a＜

1

2

时，（a-1）²-（

3

4

-a）=(a-

1

2

)2＞0，
综合得：当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g（x）最小值是

3

4

-a，
当

1

2

≤a≤

3

2

时，g（x）最小值是（a-1）²；
 当a＞

3

2

时，g（x）最小值为a-

5

4

当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在．

点评：本题考查绝对值函数的化简，利用二次函数性质求最值，以及分类讨论的数学思想，属于难题．