Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：AC⊥PB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）欲证PB∥面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与面AEC内一直线平行即可，连接BD交AC于点O，并连接EO，根据中位线可知EO∥PB，PB?面AEC，EO?面AEC满足定理所需条件．
（Ⅱ）欲证AC⊥PB，可先证AC⊥面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面PAB内两相交直线垂直，根据PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB，满足定理所需条件；

解答： 证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为BD的中点又∵E为PD的中点，
∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB，
∵PB?面AEC，EO?面AEC∴PB∥面AEC．
（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PA⊥AC，
又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB，
∴AC⊥面PAB，
∴AC⊥PB．

点评：本题考查了空间两直线的位置关系，以及直线与平面平行的判定等有关知识，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．