Question

如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC=30°，则此几何体的体积为

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据AB=2R，tan∠BAC=

3

3

，可以求得AC，BC、CD的长，再根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．

解答： 解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵tan∠BAC=

3

3

，
∴sin∠BAC=

1

2

，
又∵sin∠BAC=

BC

AB

，AB=2R，
∴BC=2R×

1

2

=R，
AC=

3

R，CD=

3

2

R．
∴V₁=

1

3

πCD²（AD+BD）=

π

2

R³．
V₂=

4π

3

R³，
∴V=V₂-V₁=

4π

3

R³-

π

2

R³=

5

6

πR³
故答案为：

5

6

πR³

点评：本题考查组合体的体积的求法，能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解，熟悉圆锥和球的体积公式．