Question

已知P是直线l：3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点．
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线l上是否存在点P，使∠BPA=60°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，由于四边形PACB面积等于2×

1

2

PA×AC=PA，而PA=

PC2-1

，故当PC最小时，四边形PACB面积最小，又PC的最小值等于圆心C到直线l的距离d，求出d 即可得到四边形PACB面积的最小值；
（2）假设存在一点使∠BPA=60°，此时∠CPA=30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，可得结论．

解答： 解：圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，即（x-1）²+（y-1）²=1，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆．
由于四边形PACB面积等于2×

1

2

PA×AC=PA，而PA=

PC2-1

，
故当PC最小时，四边形PACB面积最小．
又PC的最小值等于圆心C到直线l：3x+4y+8=0 的距离d，而d=

|3++8|

9+16

=3，
故四边形PACB面积的最小的最小值为

9-1

=2

2

；
（2）假设存在一点使∠BPA=60°，此时∠CPA=30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，因此该点不存在．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断故当PC最小时，四边形PACB面积最小，是解题的关键．