Question

已知函数f（x）定义域为R，且对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），给出以下四个结论：
①若f（1）=2，则f（3）=8；
②若对任意x，恒有f（x）=c，其中c为常数，则c=0；
③若存在x₀，使得f（x₀）=0，则对任意x，恒有f（x）=0；
④若存在x₀，使得f（x₀）≠0，则对任意x，恒有f（x）＞0；
其中正确的是

 

（只用填上正确选项的序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对于①，由条件可令x=y=1，再令x=1，y=2，即可得到f（3）；对于②，对任意x，恒有f（x）=c，则f（x+y）=c，f（y）=c，由条件即可判断；对于③，由于存在x₀，使得f（x₀）=0，则有x∈R，f（x）=f（x-x₀）f（x₀）=0，即可判断；对于④，由于存在x₀，使得f（x₀）≠0，又f（x）=f²（

x

2

）≥0，即可判断．

解答： 解：对于①，由条件可令x=y=1，则f（2）=f²（1）=4，令x=1，y=2，
则f（3）=f（1）f（2）=2×4=8，故①对；
对于②，对任意x，恒有f（x）=c，则f（x+y）=c，f（y）=c，
则f（x+y）=f（x）f（y）有c=c²，即有c=0或c=1，故②错；
对于③，由于存在x₀，使得f（x₀）=0，则有x∈R，f（x）=f（x-x₀）f（x₀）=0，故③对；
对于④，由于存在x₀，使得f（x₀）≠0，又f（x）=f²（

x

2

）≥0，
则若存在

x0

2

，使得f（

x0

2

）=0，即有f（x₀）=0，由③知，即f（x）=0，这与f（x）≥0矛盾，类比指数函数，
故④对．
故答案为：①③④

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的自变量与函数值的关系，考查赋值法解决抽象函数值，考查推理能力，属于中档题和易错题．