Question

过原点O的圆C，与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，2）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l过B点与圆C相切，求直线L的方程，并化为一般式．

Answer 1

考点：圆的标准方程,圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设圆C的标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，则分别代入原点和A（4，0），B（0，2）得到方程组，解出即可得到；
（2）由（1）得到圆心C为（2，1），半径r=

5

，由于直线l过B点与圆C相切，则设直线l：x=0或y=kx+2，分别考虑运用直线与圆相切的条件：d=r，解方程即可得到所求直线方程．

解答： 解：（1）设圆C的标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
则分别代入原点和A（4，0），B（0，2）得到，

a2+b2=r2 (4-a)2+b2=r2 a2+(2-b)2=r2

，解得

a=2 b=1 r= 5

，
则圆C的标准方程为：（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）由（1）得到圆心C为（2，1），半径r=

5

，
由于直线l过B点与圆C相切，
则设直线l：x=0或y=kx+2，
当l：x=0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；
当l：y=kx+2，由直线与圆相切，得到d=r，
即有

|2k-1+2|

k2+1

=

5

，解得k=2，
故直线l：y=2x+2，即为2x-y+2=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法和直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．