题目内容
12．
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米--75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示．（l）根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；
（2）从所抽样的6天中任意抽取三天，记ξ表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．
分析 （1）利用茎叶图能求出该组数据的平均数和方差．
（2）由茎叶图可知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ可能取的值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．
解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（26+30+36+44+50+60）=41
s2=$\frac{1}{6}$×[（26-41）2+（30-41）2+（36-41）2+（44-41）2+（50-41）2+（60-41）2]=137…（4分）
根据样本估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值为：41微克/立方米，方差为137．…（5分）
（2）从茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ可能取的值为1，2，3，
其中P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^2•C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$…（10分）
∴ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
∴ξ的数学期望为2．…（12分）
点评 本题考查平均数和方差的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
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