Question

1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²-6x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2$\sqrt{3}$则|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|的取值范围是[4，8]．

Answer 1

分析 本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$转化为$\overrightarrow{OM}$，根据AB=2$\sqrt{3}$得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最值，得到本题答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圆C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圆心C（3，0），半径CA=2．
∵点A，B在圆C上，AB=2$\sqrt{3}$，
∴CA²-CM²=（$\frac{1}{2}$AB）²，
即CM=1．
点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．
∴OM≥OC-r=3-1=2，OM≤OC+r=3+1=4．
∴2≤|$\overrightarrow{OM}$|≤4，
∴4≤|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|≤8．
故答案为：[4，8]．

点评 本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$转化为$\overrightarrow{OM}$，根据AB=2$\sqrt{3}$得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最值，得到本题答案．