Question

2．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+2}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$．（θ为参数，且a＞0）有一个公共点在x轴上，则实数a=4．

Answer 1

分析 求出曲线C₁的普通方程为x+2y-4=0，曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，由曲线C₁与曲线C₂有一个公共点在x轴上，得在x+2y-4=0上，y=0时，x=4，从而曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1过点（4，0），由此能求出结果．

解答 解：∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+2}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）
∴曲线C₁的普通方程为x+2y-4=0，
∵曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$．（θ为参数，且a＞0），
∴曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+2}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=asinθ}\\{y=3cosθ}\end{array}\right.$．（θ为参数，且a＞0）有一个公共点在x轴上，
在x+2y-4=0上，y=0时，x=4，
∴曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1过点（4，0），
∵a＞0，∴a=4．
故答案为：4．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．