Question

已知函数f（x）=x²+2（a-2）x+5．
（1）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；  
（2）若f（-1）=8，求函数f（x）在[0，3]上的最值，并写出f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对称轴x=2-a，开口向上，只需2-a≤4即可，从而求出a的范围，（2）先由f（-1）=8求出a的值，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+2（a-2）x+5，
∴对称轴x=2-a，开口向上，
若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，
只需2-a≤4即可，解得：a≥-2；
（2）∵f（-1）=8，
∴1-2（a-2）+5=8，解得：a=1，
∴f（x）=x²-2x+5=（x-1）²+4，
∴在[0，3]上，f（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，
∴在[0，3]上，f（x）_min=f（1）=4，f（x）_max=f（3）=8，
∵对称轴x=1，∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增．

点评：本题考查了函数的单调性，函数闭区间上的最值问题，是一道基础题．