Question

求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

2

2

．过F₁的直线l交C于A，B两点，且△ABF₂的周长为16；
（2）焦点在x轴上，焦距为10且点（2，1）在其渐近线上的双曲线方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

e= c a = 2 2 4a=16 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）由题意设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

2c=10 2b a =1 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线方程．

解答： （本小题满分10分）
解：（1）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得

e= c a = 2 2 4a=16 a2=b2+c2

，
解得a=4，b=2

2

，
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1．…（5分）
（2）由题意设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
由已知得

2c=10 2b a =1 c2=a2+b2

，
解得a=2

5

，b=

5

，
∴双曲线方程为

x2

20

-

y2

5

=1．…（5分）

点评：本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥曲线的性质的合理运用．