Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（m∈R），在区间[0，

π

4

]内最大值为

2

，
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a，b，c，且f(

3

4

B)=1，a+c=2，求b的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用函数的解析式通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的解析式，通过正弦函数的最值，求实数m的值；
（2）利用f(

3

4

B)=1，求出B的值，通过a+c=2以及正弦定理，直接求b的表达式，通过A的范围集合正弦函数的值的范围，求解b取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m
=2cosxsinx+2cos²x+m
=sin2x+cos2x+m+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+m+1，
当x∈[0，

π

4

]时，

2

sin(2x+

π

4

)最大值为

2

，
在区间[0，

π

4

]内函数的最大值为

2

，
∴

2

+m+1=

2

∴m=-1
（2）f(

3

4

B)=1⇒

2

sin(

3

2

B+

π

4

)=1⇒

3

2

B+

π

4

=

3π

4

，（∵0＜B＜π）
解得B=

π

3

由正弦定理得：b=

a+c

sinA+sinC

•sinB=

3

2

•

2

sinA+sin( 2π 3 -A)

sinA+sin(

2π

3

-A)=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

(

3

2

sinA+

1

2

cosA)=

3

sin(A+

π

6

)
∴

3

2

＜sinA+sin(

2π

3

-A)≤

3

，（当A=

π

3

时取最大值

3

）
∴1≤b＜2，（当△ABC为正三角形时，b=1）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．