Question

1．记数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，则a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，得a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，由此利用累乘法能求出a_n．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+（1+$\frac{2}{n}$）a_n=4，
∴${a}_{1}+（1+\frac{2}{1}）{a}_{1}=4$，解得a₁=1，
${S}_{n-1}+（1+\frac{2}{n-1}）{a}_{n-1}=4$，n≥2，
两式相减，得：a_n=（1+$\frac{2}{n-1}$）a_n-1-（1+$\frac{2}{n}$）a_n，
∴${a}_{n}（\frac{2n+2}{n}）={a}_{n-1}（\frac{n+1}{n-1}）$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{2（n-1）}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2}{2×1}$，
∴a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$1×\frac{2}{2×1}×\frac{3}{2×2}×…×\frac{n}{2（n-1）}$
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．