Question

9．已知经过原点的直线l与直线l₁：x+y+2=0，l₂：2x+3y+1=0分别交于A、B两点，且线段AB的中点恰好是原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设出直线l的方程，根据这条直线与另外两条直线都相交，求出交点的坐标，根据原点是两个交点的中点，求出直线的斜率，即可得出方程．

解答 解：由题意，直线l的斜率存在且不为0，
设斜率为k，则直线l的方程为y=kx；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2}{k+1}}\\{y=\frac{-2k}{k+1}}\end{array}\right.$，
∴点A（$\frac{-2}{k+1}$，$\frac{-2k}{k+1}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x+3y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1}{2+3k}}\\{y=\frac{-k}{2+3k}}\end{array}\right.$，
∴点B（$\frac{-1}{2+3k}$，$\frac{-k}{2+3k}$）；
又原点O是AB的中点，
∴$\frac{-2}{k+1}$+$\frac{-1}{2+3k}$=0，
解得k=-$\frac{5}{7}$；
∴直线l的方程为y=-$\frac{5}{7}$x．

点评 本题考查了两条直线的交点坐标和中点坐标公式，解题的关键是正确写出两条直线的交点坐标，利用中点坐标公式求出斜率，是基础题目．