Question

2．已知函数f（x）=$\frac{kx+1}{{x}^{2}+c}$（c＞1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中的一个极值点是x=-c．
（Ⅰ）求函数f（x）的另一个极值点；
（Ⅱ）记函数f（x）的极大值为M、极小值为m，若M-m≥1，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线函数的导数，通过f′（x）=0，方程有两个不等实根-c，x₀，然后求出极值点．
（Ⅱ）求出函数的极值点，利用导函数的符号，利用函数f（x）的单调区间，求出函数f（x）的极大值，极小值，然后求解c的值．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{k（{x^2}+c）-2x（kx+1）}}{{{{（{x^2}+c）}^2}}}=\frac{{-k{x^2}-2x+kc}}{{{{（{x^2}+c）}^2}}}$，…（2分）
令f′（x）=0即-kx²-2x+ck=0，方程有两个不等实根-c，x₀，
由根与系数的关系知${x_0}•（-c）=\frac{ck}{-k}$，得x₀=1，
即函数f（x）的另一极值点为x₀=1．  …（5分）
（Ⅱ）由f′（-c）=0得-kc²+2c+ck=0，
∵c＞1，∴$k=\frac{2}{c-1}＞0$，
当x＜-c或x＞1时，f′（x）＜0，当-c＜x＜1时，f′（x）＞0，…（7分）
∴函数f（x）在区间（-∞，-c）和（1，+∞）上单调递减；在区间（-c，1）上是单调递增，
∴函数f（x）的极大值为M=f（1）=$\frac{k+1}{c+1}=\frac{1}{c-1}$，…（9分）
极小值为m=f（-c）=$\frac{-kc+1}{{c}^{2}+c}$=$-\frac{1}{c（c-1）}$，…（10分）
∵M-m=1，∴$\frac{1}{c-1}+\frac{1}{c（c-1）}=1$，
即c²-2c-1=0，又c＞1，得c=$\sqrt{2}+1$． …（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调区间的求法，考查计算能力．