Question

9．已知圆C：x²+y²-6x-8y+21=0和直线l：kx-y-4k+3=0．
（1）证明：直线l恒过定点，并求出该定点；
（2）证明：不论k取何值，直线l和圆C总相交；
（3）当k取何值时，圆C被直线l截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．

Answer 1

分析 （1）直线kx-y-4k+3=0，即 k（x-4）-y+3=0，可得直线l经过定点M（4，3）；
（2）点M在圆C的内部，可得直线l和圆C总相交．
（3）当直线CM和直线l垂直时，弦长最短，再利用弦长公式求得最短弦长．

解答 （1）证明：直线kx-y-4k+3=0，即 k（x-4）-y+3=0，
∴直线l恒过定点，定点M（4，3）；
（2）解：圆C：x²+y²-6x-8y+21=0，即（x-3）²+（y-4）²=4，表示以C（3，4）为圆心、半径等于2的圆．
而由CM=$\sqrt{2}$＜2，可得点M在圆C的内部，故直线l和圆C总相交．
（3）解：由题意可得，当直线CM和直线l垂直时，弦长最短，最短弦长为2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．
此时k_CM=$\frac{4-3}{3-4}$=-1，∴k=1．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线经过定点问题，直线和圆的位置关系，弦长公式的应用，属于中档题．