Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B₁B上一点，且B₁E=

1

2

．                   
（1）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（2）求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明B₁D⊥平面D₁AC．
（2）求出平面AEC的法向量，利用向量法能求出直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

解答： （1）证明：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
B₁（2，2，2），D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），

DB1

=（2，2，2），

AD1

=（-2，0，2），

AC

=（-2，2，0），
∵

DB1

•

AD1

=0，

DB1

•

AC

=0，
∴B₁D⊥AD₁，BD₁⊥AC，
又AD₁∩AC=A，
∴B₁D⊥平面D₁AC．
（2）解：∵O（1，1，0），E（2，2，

3

2

），
∴

OD1

=（-1，-1，2），

AE

=（0，2，

3

2

），
设平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），则

n • AE =2y+ 3 2 z=0 n • AC =-2x+2y=0

，取z=4，得

n

=（3，3，4），
设直线D₁O与平面AEC所成角的为θ，
sinθ=|cos＜

n

，

D1O

＞|=|

-3-3+8

34 • 6

|=

51

51

．
∴直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值为

51

51

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．