Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，且公差d＞0，a₃=4，若a₁，a₃，a_k（k＞3）构成等比数列{b_n}的前三项．
（1）当k=7，a₁=2时，求数列的通项公式a_n，b_n；
（2）将数列{a_n}和{b_n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c_n}，设其前n项和为S_n，求使得不等式

b1

S1

+

b2

S4

+

b3

S11

+…+

bn

S2n+1-(n+2)

＞

126

127

成立的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）因为k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比数列，又a_n是公差d≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ；
（2）因为新的数列{c_n }的前2ⁿ-n-1项和为数列a_n的前2ⁿ-1项的和减去数列b_n前n项的和，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到

bn

S2n+1-n-2

，拆成差的形式为

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，再由裂项相消求和，解不等式，即可得到n的最小值．

解答： 解：（1）因为k=7，所以a₁，a₃，a₇成等比数列，又a_n是公差d≠0的等差数列，
所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，q=

b2

b1

=

a3

a1

=

a1+2d

a1

=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ；
（2）因为新的数列{c_n }的前2ⁿ-n-1项和为数列a_n的前2ⁿ-1项的和减去数列b_n前n项的和，
所以S_2ⁿ-n-1=

(2n-1)(2n+1)

2

-

2(1-2n)

1-2

=（2ⁿ-1）（2^n-1-1），
即有

bn

S2n+1-n-2

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
则有

b1

S1

+

b2

S4

+

b3

S11

+…+

bn

S2n+1-(n+2)

=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＞

126

127

，则有2ⁿ⁺¹＞128=2⁷，即有n＞6．
故成立的最小正整数n为7．

点评：此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力．