Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，且2S_n=（n+1）a_n+n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n≤M对一切正整数n都成立，求出M的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，2S_n=（n+1）a_n+n-1⇒2S_n-1=na_n-1+n-2，n≥2，两式相减可得（n-1）a_n-na_n-1=-1⇒

an

n

-

an-1

n-1

=

1

n

-

1

n-1

（n≥2），利用累加法即可求得

an

n

=

1

n

+2，继而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法可得b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），累加求和可得T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）≤M对一切正整数n都成立，从而可求得M的最小值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=3，2S_n=（n+1）a_n+n-1，①
∴2S_n-1=na_n-1+n-2，n≥2，②
①-②，得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1+1，n≥2．
∴（n-1）a_n-na_n-1=-1，
∴

an

n

-

an-1

n-1

=-

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n-1

（n≥2），
∴（

an

n

-

an-1

n-1

）+（

an-1

n-1

-

an-2

n-2

）+…+（

a2

2

-

a1

1

）=（

1

n

-

1

n-1

）+（

1

n-1

-

1

n-2

）+…+（

1

2

-1），
即

an

n

-

a1

1

=

1

n

-1，∵a₁=3，
∴

an

n

=

1

n

+2，
∴a_n=2n+1．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）
当n→+∞时，

1

2n+3

→0，T_n→

1

6

，
∴T_n≤

1

6

，又T_n≤M对一切正整数n都成立，
∴M_min=

1

6

．

点评：本题考查数列递推关系的应用，考查累加法与错位相减法求和，（1）中（n-1）a_n-na_n-1=-1⇒

an

n

-

an-1

n-1

=

1

n

-

1

n-1

（n≥2）是关键，考查转化思想，是难题．