Question

对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的“不动点”；若f（f（x₀））=x₀，则称x₀为函数f（x）的“稳定点”．如果函数f（x）=x²+a（a∈R）的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  1

  4

  ]
• B、（-

  3

  4

  ，+∞）
• C、（-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]
• D、[-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：x₀为函数f（x）的“不动点”，则方程f（x）=x，即x²+a-x=0有实根，故△=1-4a≥0，得a≤

1

4

，
由方程f（f（x））=x，化为：（x²+a）²+a=x，即（x²+a）²-x²+x²+a=x，利用平方差公式分解因式得，（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，
由函数f（x）=x²+a（a∈R）的“稳定点”恰是它的“不动点”，得方程x²+x+a+1=0无实数根，再解出a的范围．

解答：解：x₀为函数f（x）的“不动点”，则方程f（x）=x，即x²+a-x=0有实根，故△=1-4a≥0，∴a≤

1

4

，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根x₀为方程f（f（x））=x，即x²+a=x的实根，
方程f（f（x））=x可化为：（x²+a）²+a=x，即（x²+a）²-x²+x²+a=x，利用平方差公式分解因式得，
∴（x²+a+x）（x²+a-x）+（x²+a-x）=0，∴（x²+a-x）（x²+x+a+1）=0，
∵函数f（x）=x²+a（a∈R）的“稳定点”恰是它的“不动点”，∴方程x²+x+a+1=0无实数根，
∴1-4（a+1）＜0，∴a＞-

3

4

，
综上，-

3

4

＜a≤

1

4

，
故选：C．

点评：本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了二次方程根的相关知识．