Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+a}$的定义域为R
（1）当a=2时，求函数f（x）的值域
（2）若函数f（x）是奇函数，①求a的值；②解不等式f（3-m）+f（3-m²）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可得f（x）=$\frac{{3}^{x}-2}{{3}^{x}+2}$，将其变形可得3^x=$\frac{2y+2}{y-1}$，结合指数函数的性质可得$\frac{2y+2}{y-1}$＞0，解可得y的取值范围，即可得函数的值域；
（2）①、结合题意，由奇函数的性质可得f（0）=$\frac{{3}^{0}-a}{{3}^{0}+a}$=$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a的值；
②、由①可得函数的解析式，分析可得函数f（x）在R上增函数，由此可以将不等式f（3-m）+f（3-m²）＞0转化为m²+m-6＜0，解即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，若a=2，则f（x）=$\frac{{3}^{x}-2}{{3}^{x}+2}$，
则有3^x=-$\frac{2y+2}{y-1}$，
又由3^x＞0，则有$\frac{2y+2}{y-1}$＜0，
解可得：-1＜y＜1，
即函数f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+a}$的值域为{y|-1＜y＜1}；
（2）①、若函数f（x）是奇函数，且其定义域为R，
则有f（0）=$\frac{{3}^{0}-a}{{3}^{0}+a}$=$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a=1，
②、由①可得，f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
分析易得函数f（x）在R上增函数；
f（3-m）+f（3-m²）＞0⇒f（3-m）＞-f（3-m²）⇒f（3-m）＞f（m²-3）⇒3-m＞m²-3⇒m²+m-6＜0，
解可得：-3＜m＜2，
则不等式f（3-m）+f（3-m²）＞0解集为{m|-3＜m＜2}．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数值域的求法，（2）的关键是求出a的值．