Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），当k为何值时，
（1）k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$垂直？
（2）k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$夹角为钝角？

Answer 1

分析 由已知向量的坐标求得k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$的坐标．
（1）直接由向量垂直的坐标运算得答案；
（2）由数量积小于0求出k的范围，去掉共线反向的k值得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），
∴k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）．
（1）由（k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$），得10（k-3）-4（2k+2）=0，即k=19；
（2）若k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$夹角为钝角，
则10（k-3）-4（2k+2）＜0，即k＜19，
又（k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$）∥（$\overrightarrow{a}$$-3\overrightarrow{b}$），得-4（k-3）-10（2k+2）=0，解得k=-$\frac{1}{3}$．
此时两向量方向相反，
∴k＜19且k$≠-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线、垂直的坐标运算，考查了由数量积求向量的夹角，是中档题．