Question

17．某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P-Q-N-M-P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km²），设BP=x（km），BQ=y（km），
（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据面积列方程得出y关于x的解析式；
（2）利用导数求出x+y的最大值，从而得出步行距离之和的最大值．

解答 解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，
∴S_△AMP=$\frac{1}{2}×2×（8-x）$=8-x，S_△DMN=$\frac{1}{2}×2×4$=4，S_△NCQ=$\frac{1}{2}×4×（4-y）$=8-2y，S_△BPQ=$\frac{1}{2}xy$，
∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km²），
∴8-x+4+8-2y+$\frac{1}{2}$xy=4×8-15=17，
∴y=$\frac{3-x}{2-\frac{1}{2}x}$=$\frac{6-2x}{4-x}$．
令0＜y＜4，即0＜$\frac{6-2x}{4-x}$＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．
（2）由题意可知0＜x＜3，
∴x+y=x+$\frac{6-2x}{4-x}$=x+2-$\frac{2}{4-x}$，
令f（x）=x+2-$\frac{2}{4-x}$，则f′（x）=1-$\frac{2}{（x-4）^{2}}$，
令f′（x）=0得x=4-$\sqrt{2}$，
∴当0＜x$＜4-\sqrt{2}$时．f′（x）＞0，当4-$\sqrt{2}$＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，4-$\sqrt{2}$）上单调递增，在（4-$\sqrt{2}$，3）上单调递减，
∴当x=4-$\sqrt{2}$时，f（x）取得最大值6-2$\sqrt{2}$．
∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6-2$\sqrt{2}$）=40000（3-$\sqrt{2}$）km．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数的单调性判断与最值计算，属于中档题．