Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（　　）

• A． ${a_n}=\frac{2}{n+1}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{n-1}$
• C． ${a_n}=\frac{n}{n+1}$
• D． ${a_n}=\frac{1}{n+1}$

Answer 1

分析 由数列{a_n}满足：a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：由数列{a_n}满足：a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$（n∈N^*），
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差为$\frac{1}{2}$，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
可得：a_n=$\frac{2}{n+1}$．
故选：A．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、取倒数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．