Question

已知函数f（x）=（ax²-x）lnx-

1

2

ax²+x（a∈R）．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e=2.718…）
（2）已知x=e为函数f（x）的极值点，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，求函数的导数，根据导数的几何意义，即可求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e=2.718…）
（2）根据导数和极值和单调性之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a=0，
∴f（x）=-xlnx+x，f′（x）=-lnx，
则直线的斜率k=f′（e）=-lne=-1，
f（e）=-elne+e=-e+e=0，
故所求切线方程为x+y-e=0．
（2）函数的导数f′（x）=（2ax-1）lnx-ax-1+ax+1=（2ax-1）lnx，
∵x=e为函数f（x）的极值点，
∴f′（e）=2ae-1=0，解得a=

1

2e

（经检验符合题意）
则f′（x）=（

x

e

-1）lnx=

x-e

e

lnx，
由f′（x）=0得x=1或x=e，
列表得

x	（0，1）	1	（0，1）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以函数f（x）在（0，1）和（e，+∞）内是增加的，在（0，1）内是减少的．

点评：本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值和单调性与导数的关系，要求熟练掌握导数的几何意义和导数的综合应用．